比特币白皮书中的泊松分布

轮动效应下,各方主流币都开始发力补涨,比特币牛市初期应该这么玩!

大家好,我是紫狮财经CEO,Hyrik老师(hyrik2021)。昨天的文章已经给币友们讲清楚了,什么是币圈轮动效应,以及为什么会发生轮动效应,和轮动效应产生后,咱们散户怎样操作会获得较大的收益。之后昨天晚上就开启了行情分析里面建议的:BCH、BSV、EOS、…


白皮书
只要交易一旦发出,攻击者就开始秘密地准备一条包含了该交易替代版本的平行链条。然后收款人将等待交易出现在首个区块中,然后在等到z个区块链接其后。此时,他仍然不能确切知道攻击者已经进展了多少个区块,但是假设诚实区块将耗费平均预期时间以产生一个区块,那么攻击者的潜在进展就是一个泊松分布。

白皮书中没有解释为什么符合泊松分布,泊松分布是什么。我们将先从数学家泊松讲起,然后推导泊松分布,最后论证,为什么区块链的攻击者的潜在进展是一个泊松分布

1.泊松
泊松(1781-1840),是法国19世纪力学家、物理学家与数学家。曾言人生只有两样美好的事情,发现数学与教数学,而他也确实做到了,既是一个优秀的科学家,也是一个优秀的教师。泊松的研究范围极广,几乎对所有数学分支都作出过贡献;对电磁理论的研究,实际上创建了数学物理的一个分支;物理学中理论力学、流体力学、热力学、弹性力学、外弹道学、天体力学等都有他的足迹。作为老师,曾培养了柯西等人,但也遗憾未能赏识阿贝尔、伽罗瓦。

而最富传奇色彩或为人们广泛了解的,恐怕要数我们要介绍的分酒问题、泊松亮斑与泊松分布。

比特币白皮书中的泊松分布

分酒达人——立志数学
据说泊松在青年时代研究过下面一个有趣的数学游戏,对这个数学游戏的研究,使得泊松决心要当一位数学家。游戏如下:

某人有12品脱(英容积单位)啤酒一瓶,想从中倒出6品脱,但是没有6品脱的容器,只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器。怎样倒酒,才能使8品脱的容器中恰好装6品脱啤酒?这个数学游戏有两种不同的解法,我们介绍其中一种方法:

12
12
4
4
9
9
1
1
6
8
0
8
3
3
0
8
6
6
5
0
0
5
0
3
3
5
0


泊松解开这个有趣的数学游戏后,对数学如痴如醉,在自己的努力下最终取得了令人瞩目的成就。


乌龙英雄——泊松亮斑
光是我们见得最多的东西,各国神话中开天辟地之前宇宙都是一片混沌(黑暗),例如中国的盘古开天辟地前,或者西方上帝的创世纪前。但是开始创世之后几乎都是马上创造了光,《圣经》中明确记载:上帝说,要有光,于是世上有了光。自古以来我们都迷恋光,对光如痴如醉,大部分时候,几乎没有人喜欢黑暗。光究竟是什么?历史上关于光是什么的争论整整持续了300多年,期间的故事可以用荡气回肠来形容。主要分为两派,粒子派认为光是粒子,传播就像子弹飞出去一样,波动派则认为光是波,其传播像水波向外扩散一样。

古希腊时代,人们开始思考光的本质,那时的主流思想是认为光是一粒一粒的。17世纪初笛卡尔提出光是波的看法,并得到了惠更斯的支持,波动说占了上风。十八世纪,牛顿发表《光学》,认为光是粒子,由于其崇高的历史地位,微粒说风行。十九世纪初,托马斯杨做了著名的双缝干涉实验,证实了光是一种波。很多科学学家再次倒向了波动学说的阵营。但是粒子说还有很多坚定支持者,比如我们要讲的主人公泊松。

在这样的历史背景下,法国科学院为了鼓励科学家对光的衍射问题的研究,在18173月,提出了两个征文题目,作为1819年数理科学的悬赏项目:(1)设计实验证明光具有衍射效应;(2)依据实验用数学方法推导光通过物体附近的运动情况。

1818年,年仅30岁的菲涅尔(被后世成为物理光学的缔造者)提交了应征论文,并给出了波动方程,完美的解释了光的偏振现象,定量的计算了光遇到圆孔或圆板时的衍射花纹,完美地符合实验观察。但是论文遭到了评审文员会(拉普拉斯、毕奥、阿拉果、吕萨克与泊松)中光粒子学说的支持者泊松的强烈反对。泊松运用其高超的数学技巧,根据菲涅尔的理论,推导出了一个圆盘衍射的结论,若菲涅尔的理论是正确的,那么当点光源的光射向圆盘时,在圆盘后,距离圆盘特定距离的屏幕上,圆盘的阴影的中心会出现一个亮斑,这是多么的荒缪。泊松欣喜若狂,宣称自己驳倒了光的波动学说。阿拉果、菲涅尔得到这一消息后,分别利用泊松的理论结果做实验,果然在圆盘阴影的中心发现了亮斑。这个亮斑,被命名为泊松亮斑,不知泊松作何感想。这一实验,有力的支持了波动学说。

光粒子学说的拥护者泊松,本想驳斥波动学说,却不想进了乌龙球,帮助波动学说派扳下一城,历史就是如此打脸!但泊松仍旧是光学发展史上的英雄。
   

比特币白皮书中的泊松分布


此后,光波动学说深入人心,堪称绝妙的麦克斯韦方程组,更加坚定了科学家认为光是一种波的信心。直至20世纪,量子力学的蓬勃发张,揭示了光的波粒二象性,粒子说与波动说之争才告一段落。
随机必然——泊松分布
1832年,泊松出版了《关于判决概率的研究》,引发了争议,导致泊松与一批法国数学家,针对是否应该讲概率理论应用于法律问题,展开了论战,这可能是历史上首次系统地将概率方法引入判决问题。

1837年发表概率论代表作《关于刑事案件与民事案件审判概率的研究》,此书引进了大数定律这一名词,并公布了泊松分布泊松是在研究法庭审判问题过程中发现泊松分布的,将概率应用于伦理学引起了很大的非议。这一分布,后来被广泛应用于:在工业、商业、农业、交通、医学、军事、物理学、公共事业等领域。泊松说我建立了描述随机现象的一种概率分布

泊松分布,适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数,电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数,宇宙中单位体积内星球的个数,耕地上单位面积内杂草的数目等。还可用于指导商家如何备货,最优化物流调运等,具有极其广泛的运用。看似随机的现象,存在必然的规律。

2.泊松分布

准备知识,包括高中数学的期望,二项分布,极限

1.期望
期望:数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
例子,一枚无明显缺陷的骰子,掷1次,期望是多少?

一枚无明显缺陷的骰子,掷1次,得到点数可能结果为1,2,3,4,5,6,每种结果的概率都是1/6,根据定义,期望E为:

比特币白皮书中的泊松分布


 2.二项分布
伯努利分布:一个事件的结果只有两种A,B,并且结果为A的概率为p,结果为B的概率为1-p,那么我们说这是一个伯努利分布。

例子:抛一枚普通硬币,只会有正反两个结果,结果为正面概率为0.5,为反面概率为1-0.5.这是一个伯努利分布。

二项分布:在n次独立重复的伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为01n,且对每一个k0≤k≤n,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k,随机变量X的离散概率分布即为二项分布(Binomial Distribution)。[百度百科]

例子连续抛n次硬币,(抛一次硬币是一个伯努利实验,每次抛硬币的结果之间互不影响,表明连续抛n次是独立重复的),正面出现的次数可能为01n,那么正面恰好出现k次的概率P(k)是多少?

比特币白皮书中的泊松分布 1

其中比特币白皮书中的泊松分布 代表从n个不同的元素中,任取mm≤n)个元素,可能的组合种类)。

(3)自然对数e,与几个极限
e是一个无限不循环小数,其值约等于2.718281828459…,它是一个超越数。它是怎么来的,怎么自然了?

复利极限——自然对数
e这个符号是以数学英雄Euler名字的首字母命名的,但是第一个发现这个常数的并不是欧拉,而是雅克比伯努利,而这个数的发现源自于人类的贪婪。

如果我们去银行存取过钱,就会知道复利这个概念,简单来讲就是利滚利。比如Alice1块钱,银行年利率100%。如果Alice将这1块钱存入银行,那么,一年后她将得到两块。机智的你可能已经发现,年利率100%,那么半年利率就是50%,如果Alice1块钱存半年连同利息取出来,得到1.5元,然后再存半年,取出来会得到2.25=1.5*1.5。利息又产生了利息,Alice会比存一整年取出来多得0.25元。若变成一个月存取一次,一年后得到2.613

存取周期
一年
半年
一个月
利率
100%
50%
(1/12)*100%
一年后本息()
2
2.25
2.613


貌似存取周期越短,最终收益越高。如果存取周期为1/n年,1/n年对应利率为(1/n)*100%n趋近于无穷时,Alice一年后总财富T会无限多吗?如果是无穷多,我们就可以采用这种策略,不劳而获了,遗憾的是,答案是否定的。


根据上述假设,我们的存取周期为1/n年时,一年后的本息和为T(n):

比特币白皮书中的泊松分布


n趋近于无穷时,

比特币白皮书中的泊松分布


这是这种方式复利的极限,而银行也不可能会让上述复利方式存在,现实中银行的利率策略通常是,存取的次数越多,最终得到的本息和越少。

这个常数,摧毁了人类贪婪的梦想,最后数学家把这个数称为自然对数e自然,可能是因为,一方面它是复利的极限,另一方面以e作为底数时有很多优秀的性质,这里就不展开说了,有兴趣的可以网上搜索(包括上面极限的推导)。

其他三个极限的易推导,对推导不感兴趣的,可以只看(2),(3),(4)三个结论,然后直接看泊松分布部分
比特币白皮书中的泊松分布
比特币白皮书中的泊松分布 ,令比特币白皮书中的泊松分布,即比特币白皮书中的泊松分布
比特币白皮书中的泊松分布
                                     (2        
比特币白皮书中的泊松分布3
比特币白皮书中的泊松分布4
证明如下:                 

比特币白皮书中的泊松分布

 
对于任意的比特币白皮书中的泊松分布
一定存在一个足够大的N使得,当n>N时:
比特币白皮书中的泊松分布
从而,当n>N时:

比特币白皮书中的泊松分布

 
对于任意的比特币白皮书中的泊松分布,都有:

比特币白皮书中的泊松分布

 
所以比特币白皮书中的泊松分布 ,(4)根据上述推导过程易得。                                                 
有了上述准备工作,泊松分布的推导将易如反掌。

泊松分布:

符合下述三个条件的都符合泊松分布
1.普通性:如果时间区间充分小,事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.
2.平稳性:在任意时间区间内,事件发生k(k≥0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
3.
无后效性:在不相重叠的时间段内,事件的发生是相互独立的.

比特币白皮书中的泊松分布


通俗来讲,如果对于事件A(例如一天内小孩的出生数量),我们把时间[0,1]平均分成n段,满足如下性质:

n足够大时,每个时间段[i/n,i+1/n)内只存在两种结果:事件A发生1次(例如有1个小孩出生),或0次(每个时间段,符合伯努利分布);
事件A在时间段[i/n,i+1/n)发生1次的概率(出生一个小孩的概率),只与时间段长度1/n成正比(发生概率与时间长度成正比);
事件A在不重叠的时间段,是否发生,(不同时间段是否有小孩出生)互不影响(独立性)。
那么这个事件就符合一个泊松分布。

当时间分段n固定时,上述分布就是一个二项分布(参看上文二项分布定义):独立重复n次;每次都只有两个结果:发生1次,发生0次(发生一次概率为λ/n)。

所以泊松分布就是重复次数n趋近无穷,单次概率p=λ/n的二项分布。一个泊松事件发生k次的概率为:p=λ/n代入(1,然后n趋近于无穷求极限

比特币白皮书中的泊松分布

比特币白皮书中的泊松分布5

将(2),(3),(4)带入上式可得:

比特币白皮书中的泊松分布


3.比特币攻击者与泊松分布

诚实节点与攻击节点同时开始竞赛,诚实节点每次制造出下一各区块的概率为p,攻击节点每次制造出下一个区块的概率为q。当诚实节点制造出z个区块时,攻击者潜在进展就是一个泊松分布,分布的期望值为:

比特币白皮书中的泊松分布

期望是比特币白皮书中的泊松分布容易理解,但为什么是符合泊松分布呢?

比特币白皮书中的泊松分布


 当诚实节点制造出z个区块,所需的时间期望为比特币白皮书中的泊松分布秒。(全网算力每600秒挖出一个区块,全网算力挖出z个区块需要600*z秒。诚实节点每次制造出下一各区块的概率为p
比特币白皮书中的泊松分布秒的时间,每秒看成一个时间段,分成比特币白皮书中的泊松分布段。对于攻击者而言:

比特币白皮书中的泊松分布


时间足够短,每个时间段[i,i+1)内只存在两种结果:攻击者制造出一个区块,或0个(符合伯努利分布);
在每个时间段,攻击者制造出一个区块的可能性,与时间段长度成正比(挖到区块概率与时间长度成正比);
在不重叠时间段是否制造出区块,互不影响(独立性)。

是显然的,我们只需要验证
攻击者,挖矿过程可以看作从整数空间中,寻找题的答案:比如总共有比特币白皮书中的泊松分布个数(这个数略微大了一些),只有比特币白皮书中的泊松分布个正确答案,攻击者每秒能试比特币白皮书中的泊松分布个。
攻击者每秒钟试过的数只占总数的比特币白皮书中的泊松分布
攻击者比特币白皮书中的泊松分布秒试过的数占总数的 比特币白皮书中的泊松分布



0比特币白皮书中的泊松分布秒,无论攻击者何时成功制造一个区块,每一秒内成功的概率P都有:
 比特币白皮书中的泊松分布
任何1秒是否解答成功,下一秒找到答案的概率基本无变化,可看作各段是否解答成功是独立的。

所以当诚实节点制造出z个区块时,攻击者潜在进展就是一个泊松分布,分布的期望值为:λ=Z*q/p
攻击者取得进展区块数量为k的概率为比特币白皮书中的泊松分布;攻击者取得进展区块数量为k时,落后诚实区块个数为z-k,能够追上诚实节点区块长度的概率为比特币白皮书中的泊松分布

将攻击者取得进展为0,1,的概率,分别乘以该进展情况下,能够追上诚实区块的概率,就是攻击者能够成功的概率。

比特币白皮书中的泊松分布

即:

比特币白皮书中的泊松分布

比特币白皮书中的泊松分布

与白皮书上结论一致。


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